เรื่องของควอนตัมแฮมิลโตเนียนและสถานะไอเกน

โพสนี้เกิดขึ้นเนื่องจาก ระหว่างที่กำลังเขียนเรื่อง Quantum Computer กับปัญหา Optimization แล้วมันต้องท้าวความถึง Hamiltonian และ Eigenstate ซึ่งคนที่ไม่คุ้นเคยกับฟิสิกส์นักอาจจะสงสัยว่ามันคืออะไร เลยเขียนอธิบายเพิ่ม เขียนไปเขียนมามันยาวออกนอกประเด็น เลยยกมาตั้งเป็นโพสใหม่เลยตามนี้

Classic Hamiltonian

  • ในฟิสิกส์ แฮมิลโตเนียนคือสิ่งที่อธิบายความเป็นไปของระบบในรูปของพลังงานรวม ทั้งจลน์และศักย์
  • สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก เช่นลูกกลมปลายสปริงเคลื่อนไหวแบบ Simple Harmonic สมมติไม่คิดแรงโน้มถ่วงหรือการเสียพลังงานอย่างอื่น ลูกกลมจะเคลื่อนที่กลับไปมาระหว่างจุดสมดุลของสปริง

    เมื่อดึงลูกกลมออกจะเกิดพลังงานศักย์
    เมื่อปล่อยมือ พลังงานศักย์จะถ่ายเทเป็นพลังงานจลน์
    และถ่ายเทไปเป็นพลังงานศักย์อีกครั้งเมื่อสปริงหดตัว
    พลังงานศักย์จะดันลูกกลมให้เคลื่อนที่ย้อนกลับในทิศตรงกันข้าม
  • การเคลื่อนที่ของลูกกลมปลายสปริงเปรียบเทียบได้กับการที่มีบ่อรูปพาราโบลาภายใต้แรงโน้มถ่วง สมมติไม่คิดการเสียพลังงานอย่างอื่น เมื่อมองในแกน x ก็จะเห็นลูกกลมเคลื่อนที่กลับไปมาในลักษณะเดียวกัน

    การวางลูกกลมไว้ทางขวาจะเกิดพลังงานศักย์
    เมื่อปล่อยมือ พลังงานศักย์จะถ่ายเทเป็นพลังงานจลน์
    และถ่ายเทไปเป็นพลังงานศักย์อีกครั้งเมื่อลูกกลมวิ่งไปจนหมดแรงส่ง
    แล้วมันก็จะเคลื่อนที่ย้อนกลับในทิศตรงกันข้าม
  • ทั้งระบบลูกกลมปลายสปริงหรือลูกกลมวิ่งอยู่ในบ่อรูปพาราโบลา ล้วนมีแฮมิลโตเนียนแบบเดียวกันคือ

    H(x,p)= \frac{p^2(x)}{2m} + \frac{1}{2} kx^2

    แฮมิลโตเนียนซึ่งบอกผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบ simple harmonic

  • หากเราแก้สมการแฮมิลโตเนียนข้างต้นออกมา จะสามารถทำนายสถานะ (ตำแหน่ง, โมเมนตัม) ของลูกกลมในเวลาต่างๆ ได้ ในกรณีนี้ลูกกลมจะเคลื่อนไหวในแกน x เป็นรูปกราฟ sine
  • ประเด็นก็คือ ไม่ว่าระบบจะเป็นแบบไหน สิ่งสำคัญที่ใช้อธิบายความเป็นไปของระบบก็คือแฮมิลโตเนียน ถ้าระบบต่างไปจากนี้ แฮมิลโตเนียนก็จะต่างไปจากนี้

From Classic to Quantum

  • ถ้าสิ่งที่เราสนใจไม่ใช่ลูกกลมในโลกคลาสสิกแต่เป็นอนุภาคในโลกควอนตัม เราจะต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมแทนกลศาสตร์แบบคลาสสิก
  • สิ่งที่ต่างก็คือ เราไม่สามารถบอกค่าสถานะใดๆ ของอนุภาค (เช่นตำแหน่ง) เป็นค่าที่ชัดเจน เราบอกได้แต่ความน่าจะเป็นว่ามันน่าจะมีค่าแถวๆ ไหน เรียกว่า Probability Density
    ในควอนตัม เราไม่สามารถบอกสถานะเป็นค่าค่าเดียว
    แต่ต้องบอกเป็นโอกาสที่จะเกิดของค่าต่างๆ
  • อันที่จริงความน่าจะเป็นที่พูดถึงเมื่อกี้นี้ มันมาจากสถานะควอนตัมซึ่งเป็น “ค่าความน่าจะเป็นแบบจำนวนเชิงซ้อน” เรียกว่า Probability Amplitude ซึ่งสามารถมีค่าติดลบได้ ติดมุมได้ สิ่งนี้เราเรียกว่า Wave Function หรือฟังค์ชั่นคลื่น
    ตัวอย่างสถานะควอนตัมซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ติดลบได้ ติดมุมได้
    เมื่อนำมันมา Absolute แล้วยกกำลังสอง จึงจะได้เป็นค่าความน่าจะเป็นธรรมดา ซึ่งเป็นจำนวนจริงบวก

Quantum Hamiltonian

  • กลศาสตร์ควอนตัมก็คิดแฮมิลโตเนียนได้เช่นกัน แต่เนื่องจากสถานะควอนตัมมันมาเป็น wave function แทนที่จะเป็นค่าเดี่ยวๆ แฮมิลโตเนียนจึงมีมิติมากขึ้นเช่นกันเพราะต้องกระทำกับทุกความเป็นไปได้
  • สมมติเรามีอนุภาคประจุที่ตกอยู่ในสนามไฟฟ้าปริมาณความเข้มข้นเป็นรูปกราฟพาราโบลา เปรียบแล้วเหมือนอนุภาคตกอยู่ในบ่อแห่งพลังงานศักย์รูปพาราโบลา มันจะเคลื่อนไหวมาอยู่ภายในบ่อนี้ เราเรียกระบบนี้ว่า Quantum Harmonic Oscillator
    อนุภาคเคลื่อนไหวอยู่ภายในสนามไฟฟ้า เปรียบเหมือนมันตกอยู่ในบ่อพลังงานศักย์
  • แฮมิลโตเนียนของระบบตัวอย่างจะเป็นแบบนี้

    \hat{H}\Psi=(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} kx^2 )\Psi

    H คือแฮมิลโตเนียนซึ่งมีความเป็น operator เพราะต้องดำเนินการกับทุกความเป็นไปได้ของ wave function ψ

  • หากแก้สมการข้างต้นออกมา จะได้ผลลัพธ์คือ wave function เป็นคลื่นที่อาจเคลื่อนไหวกระฉอกไปมา หรืออาจมีคลื่นบางแบบที่ probability density ปรากฏเป็นรูปร่างตั้งอยู่นิ่งๆ เราเรียกว่าสถานะไอเกน (Eigenstate)
     

    สถานะที่มีการเจือปน มันจะดูเคลื่อนไหว แต่สถานะไอเกนที่บริสุทธิ์จะมองเห็น probability density ตั้งอยู่นิ่งๆ

    Eigenstate(s)

    • ตัวอย่างที่ยกข้างต้นคือกรณีที่พลังงานของระบบอยู่ในสถานะที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ เรียกว่าสถานะพื้นหรือ Ground State
    • ในกลศาสตร์คลาสสิกเราสามารถเพิ่มพลังงานให้ระบบเท่าไหร่ก็ได้ แต่กลศาสตร์ควอนตัม เราต้องเพิ่มพลังงานให้ระบบเป็นจำนวนเท่าตัวของค่าคงที่ของพลังค์เท่านั้น
    • ในกลศาสตร์คลาสสิกเมื่อพลังงานของระบบมีค่ามากขึ้น ลูกกลมก็อาจะเคลื่อนที่ได้แรงและไกลขึ้น แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานที่เพิ่มขึ้นจะทำให้ความถี่ของ wave function เปลี่ยนไป การแทรกสอดเปลี่ยนไป และความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไป
      ระดับพลังงานที่ต่างกัน ทำให้เกิด Eigenstate รูปร่างต่างๆ กัน
    • จากรูปข้างต้น เมื่อคิดความน่าจะเป็นแล้ว(เอา Probability Amplitude มา Absolute แล้วยกกำลังสอง)จะพบว่าตำแหน่งที่มีโอกาสพบอนุภาคมากที่สุดจะเพิ่มเป็น 2, 3, 4, 5 ตำแหน่งตามระดับพลังงานสูงขึ้น ในการคำนวณควอนตัมเราไม่ค่อยอยากให้เกิดสถานะที่ระดับสูงเท่าไหร่ เพราะมันไม่ได้นำเราไปสู่คำตอบสุดท้ายเพียงหนึ่งเดียว ควอนตัมอัลกอริทึมจึงมักจะพยายามค้นหาสถานะไอเกนที่ ground state
    Advertisements

One Response to “เรื่องของควอนตัมแฮมิลโตเนียนและสถานะไอเกน”


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: